ディリクレ分布に関するメモ (5)

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以前、ディリクレ分布の平均、分散、共分散を計算しました。

ところが今日、ディリクレ過程に従うランダム確率分布がなぜ離散的か?という問題に対する証明を与えている

Ferguson Distributions Via Polya Urn Schemes; David Blackwell and James B. MacQueen, Ann. Statist. Volume 1, Number 2 (1973), 353-355.

という論文を読んでいて任意の高次モーメントが必要になったので、計算してみました。

高次モーメントの計算

\(d\)次元ディリクレ分布を考えます。パラメータは \(\alpha\) とします(多重指数表記)。

\begin{align*}E[X^n]:=E\bigg[\prod_{i=1}^dX_i^{n_i}\bigg]\end{align*}

という積分を計算してみます。計算する前に以下のような記号を導入しておきます。

\begin{align*}
&N:=\sum_i n_i\\
&x^{[K]}:=(x+K-1)(x+K-2)\cdots(x+1)x=\prod_{k=0}^{K-1}(x+k)
\end{align*}

このとき、

\begin{align*}
\frac{\Gamma(\alpha_i+n_i)}{\Gamma(\alpha_i)}=\alpha_i^{[n_i]}
\end{align*}

となります。それでは高次モーメントを計算してみます。といっても平均、分散、共分散を計算した以前の記事を参考にすると、上記の積分はすぐに計算できます(記号については前回と同じ記号です)。

\begin{align*}
E[X^n]&=\frac{B(\alpha+n)}{B(\alpha)}\\
&=\frac{\prod_{i=1}^d\Gamma(\alpha_i+n_i)}{\Gamma(A+N)}\frac{\Gamma(A)}{\prod_{i=1}^d\Gamma(\alpha_i)}\\
&=\frac{\prod_{i=1}^d\alpha_i^{[n_i]}}{A^{[N]}}
\end{align*}

ということでこれが高次モーメントの一般形になります。

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