数学ビデオ “Dimensions” を見た

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知人から数学に関する Dimensions という DVD をもらったので見た。クリエイティブ・コモンズなので、いろいろな動画サイトでも見れるようですが。

幾何学と代数学の関係に関して、CGを用いて説明したおよそ二時間の動画。

9つのチャプターから構成されていて、1つが13分程度。

(1) 2次元 : ステレオグラフ射影について。

(2) 3次元 : エッシャーの平面世界のトカゲに3次元をどのように知覚させればよいか?一つは3次元の図形を上から下に動かして平面状を透過させ、その形状から類推する。もうひとつはステレオグラフ射影を使う。後者のほうがわかりやすい。面の数、辺の数、頂点の数が保存する。

(3) 4次元 : どうように3次元世界に住む我々が4次元の世界を知覚するにはどうすべきか?平面上の三角形は3つの頂点をもち、各頂点からそれぞれ2本の辺が出ている。3次元の正四面体は4つの頂点をもち、各頂点から3本の辺。4次元のこれらに対応する図形は5個の頂点をもって、各頂点から4本の辺が出ているはずだ。この4次元図形が3次元空間を横切っていく姿がCGで示される。同様に超立方体、24胞体、120胞体、600胞体が3次元空間を横切っていく姿。

(4) 4次元(続き) : 前のチャプターで出てきた各4次元図形を今度はステレオグラフ射影してみる。もちろん3次元空間に。

(5) 複素数 : 複素数の概念。複素数の掛け算、絶対値、偏角。

(6) 複素数(続き) : 複素数同士の掛け算が、回転・拡大に対応している。その後、話はフラクタルへ。ジュリア集合、マンデルブロ集合。マンデルブロ集合はジュリア集合が消滅しないパラメータに対応していることの説明。

(7), (8) ファイブレーション : トーラスの表面に乗る円周は4種類に分類される。経線、緯線という簡単に思いつくもの。それ以外にビラルソーの定理によって特徴付けられる円周の属が2つ。ビラルソーの定理とは「トーラスの2重接平面はトーラスと2つの円周で交わる」。同じ属の円周は交わらない。ホップファイブレーション。デュパンサイクロイド。

(9) 証明 : 球の任意の円のステレオグラフ射影が円になることの証明。数学とは公理の上に築かれた巨大な建築物である。

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